Donner la valeur de la vérité de chacune des propositions suivantes:
1-  " $(-3)^2=9$   $\textbf{et}$   $\sqrt{9}=-3 $ "
2-  " ($\pi$ est un nombre rationnel) $\textbf{ou}$ ($\sqrt{3}+\sqrt{7}>3$) "
3-  " ($a \in \mathbb{N})$; ($a$ est premier) $\Longrightarrow$ ($a$ est impair ) "
4-  " l'ensemble des solutions de l'inéquation $-6x^2+7x+3 \geq 0$ est l'intervalle $\left[\dfrac{-1}{3};\dfrac{3}{2}\right]$ "
5-  " pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$ : $3x^2+2x-4 > 0$ "
6-  " $(a\in\mathbb{R})$ , $a^2=1 \Longleftrightarrow a=1 $ "

Écrire à l'aide des quantificateurs les propositions suivantes :
1- " pour tout entier naturel $n$ on a : $\dfrac{9^{n+1}+9^n}{3^{2n+1}-3^{2n}}\in \mathbb{N}$ "
2- " pour tout réel $x$ il existe unique un entier relatif tel que: $p\leq x \leq p+1$ "
3- " pour tout réel $x$ il existe au moins $n$ un entier naturel tel que : $n \geq x$ "
4- " quelque soit deux nombres rationnels $x$ et $y$ il existe au moins un rationnel $z$ tel que : $x \lt z$ ou $z \lt y$ "
5- " si un nombre réel est supérieur à 2 alors il est positif "

Nier les propositions suivantes :
1. $(\forall x \in \mathbb{R}) , (x \geq 0 \text{ ou } x \leq 0) $
2. $(\forall x \in \mathbb{R}) ; (\exists a \in \mathbb{R}) \; / \; x \lt a \lt x+1 $
3. $(\forall x \in D_f) ; f(-x)=f(x) $
4.les plans $P$ et $Q$ sont parallèle
5.tout triangle rectangle a une angle aigu
6.$(\forall x \in \mathbb{N}) \; ; \; (x \ne 0 \Longrightarrow x > 1)$
7.$(\forall x \in \mathbb{R}) \; ; \; (\sqrt{x^2+3} \le 2 \Longleftrightarrow x \geq 1)$

On considère la proposition suivante :
$(P) : (\forall x \in \mathbb{R} ) ; (\exists y \in \mathbb{R}) : x^2+xy+y^2=0$
1. Donner la négation de $(P)$.
2. Montrer que $(P)$ est fausse.

1. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) \; ; \; \sqrt{x^2+1} + x > 0$
2. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \; ; \; \dfrac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$$ x^2 - \lvert x-2 \rvert +5 = 0$$ $$ 3\lvert x-1 \rvert + x - 5 = 0 $$

Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N} \; ; \; (n^2 \; impair) \Longrightarrow (n \; impair)$

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels .
Montrer que :   $x \ne y \Longrightarrow (x+1)(y-1) \ne (x-1)(y+1)$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels .
Montrer que :   $a+b>1 \Longrightarrow a>\dfrac{1}{2} \text{ ou } b>\dfrac{1}{2}$

Montrer que la proposition $(\forall x \in \mathbb{R^+}) \; ; \; x+\dfrac{1}{x} \geq 2 $ est fausse

Soient $a$ et $b$ et $c$ et $d$ des nombres réels
Montrer que la proposition :   $\left\{\begin{array}{l} a \neq b \\ c \neq d \end{array}\right. \quad \Longrightarrow \quad a+c \neq b+d$   est fausse

Soit $x$ un nombre réel
Montrer que : $2 \lt x \lt 4 \Longrightarrow \dfrac{1}{3} \lt \dfrac{1}{x-1} \lt 1$

Montrer que :   $\forall x \in \mathbb{R^+} \; ; \; \dfrac{1}{1+\sqrt{x}} = 1-\sqrt{x} \quad \Longrightarrow \quad x=0$

1-Montrer que : $\forall (a;b) \in \mathbb{R^2} \; ; \; a^2+b^2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=b=0 $
2-Soient $x$ et $y$ deux nombres réels positifs :
Montrer que :   $x+y+2=2\sqrt{x}+2\sqrt{y} \quad \Longrightarrow \quad x=y=1$

1-Montrer que :
$$\forall (a;b) \in \mathbb{R^2} \; ; \; a^3+a=b^3+b \quad \Longleftrightarrow \quad a=b $$ 2-Montrer que :
$$\forall (x;y) \in \mathbb{R^2} \; ; \; \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad x=y=0 $$

Soit $x$ un nombre réel positif:
Montrer que : $$ \lvert x-1 \rvert \lt \dfrac{1}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{2}{5} \lt \dfrac{1}{x+1} \lt \dfrac{4}{3} $$

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$
$I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le point défini par : $\overrightarrow{BJ}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$
Montrer que les droites $(AC)$ et $(IJ)$ ne sont pas parallèles.

Montrer que le nombre $n(n^2+5)$ est pair pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $ \lvert x-2 \rvert + \lvert x-3 \rvert = x+2 $

Soit $g$ une fonction définie de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ par : $g(0)=-3$ et $g(n+1)=g(n)+\dfrac{5}{3}$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$
1- Calculer $g(1)$ et $g(2)$.
2- Montrer par récurrence que : $ (\forall n \in \mathbb{N}) \; ; \; g(n)=-3 + \dfrac{5}{2}n$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $$ 2x+1 - \lvert 4x-3 \rvert \lt 3x-4 $$

Montrer que pour tous $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$ :
$$ (xy \neq 1 \quad et \quad x \neq y ) \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{x}{x^2+x+1} \neq \dfrac{y}{y^2+y+1} $$

1- Montrer que : $ (\forall n \in \mathbb{N^*}) \quad ; \quad 1+2+3+...+n = \dfrac{n(n+1)}{2} $
2- Montrer que : $ (\forall n \in \mathbb{N}) \quad ; \quad 2^0+2^1+2^2+...+2^n = 2^{n+1}-1 $
3- Montrer que : $ (\forall n \in \mathbb{N^*}) \quad ; \quad 1^3+2^3+2^3+...+n^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2 $
4- Montrer que : $ (\forall n \in \mathbb{N^*}) \quad ; \quad 1+2+5+...+(2n+1) = (n+1)^2 $

Montrer par récurrence que pour tout n dans $\mathbb{N}$ le nombre $a_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$ est divisible par 7

Montrer que la proposition : $(\forall ]0;1[) ; \dfrac{2x}{x^2(1-x^2)} \lt 1 $ est fausse.

Pour tous $n$ de $\mathbb{N}$, on pose $A_n = 3^{2n} -2^n$
1- Vérifier que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $A_{n+1} = 2A_n + 7$
2- Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $7$ divise $A_n$

Soit $n$ un entier naturel
1- Montrer que si $n$ est un nombre pair alors $n^2$ est un nombre pair
2- Montrer que si $n^2$ est un nombre pair alors $n$ est un nombre pair
3- Montrer que : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$

Montrer que : $n(n+1)(n+2)$ est multiple de $3$ pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels
1- Montrer que : $x+\dfrac{1}{x} > 0 \Longleftrightarrow x > 0 $
2- Montrer que : $x^2 + y^2 = 0$ $\Longleftrightarrow$ $(x=0$ et $y=0) $

Soit x un nombre réel, on pose $A(x) = \lvert x \rvert + \lvert x-1 \rvert - \lvert 2x+6 \rvert$
1- Ecrire $A(x)$ sans utiliser le symbole de valeur absolue
2- Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R} ; -7 \leq A(x) \leq 7$

Soit $f$ une fonction numérique définie de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ par : $f(0)=2$ et $f(n+1)=5f(n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
1- Calculer $f(1)$ et $f(2)$
2- Montrer par récurrence que : $f(n) = 2\times 5^n$ ; $\forall n \in \mathbb{N}$

Montrer que : $\forall x \in [-2;2] $ ; $\sqrt{4-x^2} -x \leq 2\sqrt{2}$