Compléter par : $\in$ ; $\notin$ ; $\subset$ ; $\not\subset$
$8...\mathbb{Z}$   ;   $\dfrac{1}{3}...\mathbb{Q}$   ;   $\sqrt{3}...\mathbb{Q}$   ;   $\mathbb{Q}...\mathbb{R}$   ;   $\mathbb{N}...\mathbb{Q}$   ;   $\dfrac{-1}{2}...\mathbb{R^+}$   ;   $\dfrac{1}{4}...\mathbb{N}$   ;   $\dfrac{2}{3}...\mathbb{N}$   ;   $\dfrac{\sqrt{100}}{2}...\mathbb{N}$   ;   $\mathbb{Z}...\mathbb{Q}$   ;   $\pi...\mathbb{Z}$   ;   $0...\mathbb{Q^*}$   ;   $\sqrt{25}...\mathbb{N}$   ;   $0...\mathbb{R^*}$   ;   $ \{0,1,-6\}...\mathbb{N}$   ;   $\{0,1,2\}...\mathbb{N}$  ;   $\mathbb{R^+}...\mathbb{R}$   ;   $\dfrac{1}{2}...\mathbb{D}$   ;  

Montrer que $\dfrac{1}{2^n} \in \mathbb{D}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$

Les nombres $\dfrac{54}{40}$ ; $\dfrac{126}{450}$ ; $\dfrac{75}{90}$  ; $\dfrac{17}{7}$ ; $\dfrac{1}{3}$ sont-ils des décimaux ?

Calculer et simplifier:
$A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}$   ;   $B=\dfrac{-7}{6}+\dfrac{2}{3}+2+\dfrac{1}{4}$   ;   $C=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}\right)^2$   ;   $D=\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{2-\dfrac{2}{5}}$   ;   $E=\dfrac{7-\dfrac{4}{\pi}}{12-21\pi}$   ;   $F=\dfrac{5-\dfrac{1}{2}}{3+\dfrac{1}{2}}\times\dfrac{1+\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{10}}\times\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{6}}{8-\dfrac{1}{9}}$   ;   $G=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)\times\dfrac{4}{3}+\left(3-\dfrac{2}{21}\right)\times\left(4-\dfrac{7}{5}+\dfrac{2}{3}\right)\times\dfrac{3}{4}$   ;   $K=-2(b-a)-(3a-2c)+3(c-2b)$

Simplifier les écritures suivantes :
$A=\sqrt{108}-3\sqrt{35}+5\sqrt{432}$   ;   $B=\sqrt{112}+2\sqrt{175}-2\sqrt{700}$   ;   $C=2\sqrt{\dfrac{11}{5}}+\sqrt{\dfrac{121}{55}}-8\sqrt{\dfrac{33}{15}}$

Simplifier les écritures suivantes :
$A=\sqrt{75}\times\sqrt{27}$   ;   $B=\sqrt{\dfrac{125}{16}}$   ;   $C=\sqrt{6^2+8^2}$   ;   $D=\sqrt{3\sqrt{100}+6}$   ;   $E=\sqrt{0,36}$   ;   $D=\dfrac{3-\dfrac{162}{15}}{5+\sqrt{300-11}}$

Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in \mathbb{N}$
$A=2\sqrt{3}+5\sqrt{12}-\sqrt{75}$   ;   $B=3\sqrt{80}-\sqrt{180}-\sqrt{90}$

Calculer et simplifier :
$A=\dfrac{2\times3\times\left(\sqrt{7}\right)^4\times\left(\sqrt{21}\right)^3}{7\times\left(\sqrt{3}\right)^{-2}\times\left(\sqrt{2}\right)^4}$   ;   $B=\dfrac{\left(2\sqrt{2}\right)^4\times\left(-7\times\sqrt{3}\right)^{-3}}{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\right)^4}$

Donner l'écriture scientifique de chacun des nombres suivants:
$A=\dfrac{7\times10^3\times 8\times 10^{-6}}{5\times10^4}$   ;   $B=\dfrac{2,5\times10^{-3}\times 9\times 10^{5}}{15\times10^{-5}}$   ;   $B=\dfrac{1,38\times10^{30}}{4,6\times10^{21}}$

Simplifier les expressions suivantes:(où a et b et c des nombres réels non nuls).
$X=\dfrac{a^2b\left(c^2b^{-1}\right)c^{-3}b^2}{ab^{-2}\left(c^{-3}b^2\right)^4\left(c^2b^3\right)^{-1}}$   ;   $Y=\dfrac{\left(-a\right)^{-7}\left(c^2b^2\right)^{4}}{\left(-cb\right)^{3}}$

Développer et simplifier les expressions suivantes:
$A=\left(2+\sqrt{3}\right)^2-\left(2-\sqrt{3}\right)^2$   ;   $A=\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)$   ;   $A=\left(\sqrt{75}-\sqrt{98}\right)\left(5\sqrt{3}+7\sqrt{2}\right)$

Développer les expressions suivantes:
$A=\left(2\sqrt{a}-3\sqrt{b}\right)\left(4b+6\sqrt{ab}+9b\right)$   ;   $B=\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{b}+1\right)$   ;   $C=\left(3\sqrt{a}+5\sqrt{b}\right)\left(9a-15\sqrt{ab}+25b\right)$

Développer et simplifier l'expression dans chacun des cas suivants:
$A(x)=(x^2+x+1)(x-1)$
$A(x)=(x^2+2x+1)(x+1)$
$A(x)=(2x+3)^2-(2x-3)$
$A(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-2)$
$A(x)=(1-x-\sqrt{3})^2$

Factoriser l'expression dans chacun des cas suivants:
$A(x)=(3x+4)^2+(3x+4)(x+\sqrt{2})+3x+4$
$A(x)=(x-\sqrt{2})^2-(\sqrt{2}x-2)$
$A(x)=2(1-4x)+3(4x-1)^2$
$A(x)=x^3-8-4(x-2)+x^2-2x$
$A(x)=64x^3+125-\left(x^2+\dfrac{5}{4}x\right)$
$A(x)=8x^4-27x-4x^2(2x-3)$

Factoriser les expressions suivantes:
$A=a^3-b^3+a^2-b^2$
$B=a^3+b^3+a^2-b^2$
$C=(a^2+ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)$

Dans chacun des cas suivants, étudier le signe de $X$. Calculer $X^2$ en déduire $X$
$A=X=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$
$B=X=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-3\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
$C=X=\sqrt{12+3\sqrt{7}}-\sqrt{12-3\sqrt{7}}$
$D=X=\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}$

$a$ est un nombre réel non nul tel que : $a-\dfrac{1}{a}=2$
Calculer: $a^2+\dfrac{1}{a^2}$   ;   $a^3-\dfrac{1}{a^3}$   et   $a^4+\dfrac{1}{a^4}$

Soient a et b deux réels non nuls.
Montrer que : $(1+a^2)(1+b^2)\geq4ab$

1-Soit n un entier naturel
Déterminer les nombres réels a et b tels que :
$$\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{a}{n+1}+\dfrac{b}{n+2}$$ 2-En déduire la valeur de la somme :
$$S=\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}...+\dfrac{1}{99\times100}$$

1-Transformer le quotient $\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ de façon que le dénominateur ne contient plus de radical.
2-Déduire la forme la plus simple du nombre : $\sqrt{\dfrac{\sqrt{112}+\sqrt{42}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}$